计算绳子的长度，大家来做题目吧^^

甘的奔跑 · 发表于 2013-9-21 23:17:59

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大家来做题目吧^^
假设一颗铁球，拴了一根绳子。
该铁球位于地球赤道上方，绳子垂直于地面向下，铁球相对于地面保持静止。
该铁球相当于卫星，有点类似于地面上的一个棒棒糖。
假设绳子密度是均匀的，而且足够结实不会被拉断，请问绳子需要有多长？
各物理量可以百度，比如重力加速度g、万有引力常数G、可以百度得到。
计算过程中的未知量，比如铁球重量等等可以进行假设。
补充一个图：

谢谢"探索号QM"的答题，他的计算模型中，是假设绳子对铁球无任何影响。
现在增加点难度，需要考虑绳子的影响。
由于有绳子的拖累，铁球需要有更大的离心力，才能带着绳子相对于地面保持静止。
不计空气阻力的影响，也不计绳子和铁球之间的万有引力。
给定一些可能会用到的参数(只是可能)
铁球质量：1kg
绳子直径：10mm
绳子线密度：0.1kg/m
绳子的刚度：无穷大

pcwpo · 发表于 2013-9-21 23:18:13

...地球同步卫星？

栀子花的眼泪 · 发表于 2013-9-21 23:19:06

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同步卫星的轨道半径有定数的，度娘。

1609734572 · 发表于 2013-9-21 23:19:16

如果只考虑地球自转，那等式建立的概念是重力加速度等于离心加速度。
G*M*r^-2=r*ω^2
其中:
G --- 重力常数，6.67*10^-11(m^3/(kg*s^2)); M --- 地球质量，5.97*10^24kg; ω --- 自转角速度，7.27*10^-5 rad/s ; r --- 该球离地心距离
由等式得： r=(G*M*ω ^-2)^(1/3)=4.22*10^7m=4.22*10^4 Km
绳子长度是r减去地球赤道半径，即：4.22*10^4-6378=35822 Km.

buyi9999 · 发表于 2013-9-21 23:22:23

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谢谢，绳子的自重也需要考虑

马令庆MLQ · 发表于 2013-9-21 23:24:18

有深度

芳蔺和 · 发表于 2013-9-21 23:25:08

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同步卫星的高度为H = 35,786公里。
铁球重量无关，是不是绳子重心在H上就可以了？那绳子就是2H

sam_chn2000 · 发表于 2013-9-21 23:25:51

hehe,高科技！

st973 · 发表于 2013-9-21 23:26:31

实在是不明白楼主你在说什么。。。。。不明觉厉！

2792922819 · 发表于 2013-9-21 23:27:36

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绳子与球的共同质心离地心和赤道表面的距离已经可以确定，不必重复，并利用其数值建立以下质心平衡方程：
(Ms+Mq)(r-rc)=0.5*L*Ms+L*Mq
其中：Ms --- 绳子重量并等于0.1L(kg) ; Mq --- 球的重量=1kg; r-rc=35822 km;
将绳子重量等式代入上述质心平衡方程，可得到一个关于L的一元二次方程，可得到：
L=71634 km

无法坦诚以对 · 发表于 2013-9-21 23:28:10

请楼主批评。

yorktong · 发表于 2013-9-21 23:34:25

只要绳子的长度和卫星的高度一样不就行了，也许要考虑空气的摩擦，但是如果绳子够细的话，也可以不用考虑，还是考虑会不会被其他的星球绊倒吧，综上所述，别用绳子了！

黄三疯43 · 发表于 2013-9-21 23:37:04

谢谢“探索号QM”的解答！
由于绳子和地球之间的万有引力与距离的平方成反比，计算其万有引力的时候，不能用质点法("形心")来等效，质心法过于理想化，精确点的解法是沿着绳子长度方向积分来计算总万有引力，两种计算方法差异比较大。
再次感谢！

cxenter · 发表于 2013-9-21 23:37:11

谢谢逍遥兄的解答！
函数图象中没能看出纵横坐标所表示的含义，也没能看出图形交点的坐标值

爆爆蛋 · 发表于 2013-9-21 23:39:52

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没错。

当L2远远大于b时，可视为limb=0，将b=0代入最后一式，可得find(L)→L2。也就是说，当两个质量体相隔距离非常远时，远大于物体本身的尺度时，质量体可近似视为质点。
所以当绳子-铁球系统到地心的距离远大于其本身尺度时，用前面朋友的简化质心的方法，也是可行的，结果也应该是相当精确的。

`Kayミ · 发表于 2013-9-21 23:42:11

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如图，当绳子长度为 1000m 时，若想铁球-绳子处于平衡，则铁球到地心的理论距离在 42160360.0m 与 42160360.1m 之间。

当绳子长度为 10000m时，铁球距离地心的理论值在 42164860.2m 与 42164860.3m 之间。

不知与fmdd兄的计算结果是否符合。

mhm89752014 · 发表于 2013-9-21 23:43:20

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多谢逍遥兄和前面参与计算讨论的探索号QM，辛苦大家了！
我的计算如下：

ymhry · 发表于 2013-9-21 23:44:03

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理论源于实践！

keenhsy · 发表于 2013-9-21 23:44:07

地球同步卫星的轨道高度为 35786 km，这个高度是铁球受到的离心力和地球对它的万有引力的平衡点。
若绳子长度为 144400 km，且尾端接近地面，那么铁球高度将远远高于同步轨道高度，如果其旋转速度跟地球同步的话，其受到的离心力将远远大于万有引力，这时如果没有绳子牵拉，它将向太空飞去。
所以我觉得在绳子的末端还要计入铁球对它的拉力，对铁球也要计算绳子对它的拉力，这样才能两相平衡。
写完上段，又琢磨了一会儿，觉得有点儿意思。铁球质量才1kg，而绳子长度数万公里，怪不得楼主直接将铁球给忽略了。。。

所得结果跟楼主差不多。但这些大数计算，差一个数，就差好几万公里……

hjh3354223 · 发表于 2013-9-21 23:45:46

无地自容

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