用模态测试与仿真相结合的方法获取天然花岗石的弹性模量(一)

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1.前言
在现代工业中，天然花岗石应用到各行各业，如测量仪器行业、PCB钻孔行业等。在PCB钻孔行业中，天然花岗石主要用于制作机床的床身和横梁，它的材料性能对床身和横梁结构性能有很大的影响，其中影响最大的材料性能是其弹性模量。目前，测定材料弹性模量的方法有静态测量法、动态测量法和其他一些测量方法，如声速法等，其中应用较多的是静态法和动态法两种。
静态法是在拉力试验机上附加静态应变仪，由一系列应力及应变的试验数值计算出弹性模量，实验方法标准为GB8653-88。这种方法简单，但是只有专门从事材料研究的企事业才会购买这种仪器设备，对一般需进行材料性能测试的企业来说用处不大。另外，这种测试方法属于破坏性试验，且受材质的限制，对脆性材料，如天然花岗石、玻璃、陶瓷等无法用这种方法测量。动态法是国际上广泛采用的测量方法，其中最具代表性的是悬丝耦合弯曲共振法，实验方法标准为GB1586-91。它通过测量材料的固有频率来推算弹性模量。
将仿真与试验相结合的方法是目前科技界的主流方法。本文利用LMS振动测试仪及有限元软件，采用模态测试与仿真相结合求天然花岗石的弹性模量。
2.求弹性模量的原理
根据系统的振动微分方程：

式中[M]为质量矩阵，[C]为阻尼矩阵，[K]为刚度矩阵，{x(t)}为响应向量，{f(t)}为力向量
将上式进行拉氏变换，得

式中的s2[M]+s[C]+[K]记为[Z(s)]，称为动刚度矩阵。
动刚度矩阵的行列式，即│s2[M]+s[C]+[K]│，称为系统特征方程，它的根，即系统极点，决定系统的共振频率。
由此可以知道结构件的模态由质量、阻尼和刚度决定，而质量与密度和体积有关，说明了阻尼与结构件的模态频率呈弱相关关系，刚度取决于结构形式和弹性模量。因此，当知道质量不变和结构形式不变时，弹性模量决定了结构件的模态。基于此，需要测量材料的弹性模量时，可以先对采用这种材料的结构件进行自由模态测试，再以模态测试结果为依据，通过不断改变材料属性中的弹性模量来对结构件进行自由模态仿真，最终求出材料的弹性模量。

图1 求弹性模量流程图

在中国，花岗石矿产资源也极为丰富，储量大，品种多，在机床行业应用比较广泛的有泰山青、沂南青、济南青等。济南青花岗石具有稳定性好、各向同向性、材料性能高等特点，是天然花岗石种类中的典型者。济南青花岗石的材料性能已经被多家专门从事材料性能研究的企事业测试过，具体参数如表1所示。

表1 济南青花岗石材料性能

之前，制作了大小为400×100×20mm的试件，采用模态测试与仿真相结合的方法求济南青花岗石的弹性模量，得到其弹性模量为1.15e11N/m2，符合表1的参数范围。由此，可以证明了采用模态测试与仿真相结合的方法求天然花岗石的弹性模量是正确的。