扭曲的几何：球面上的世界观(二)

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高斯眼中的球面三角形一个很有意思的地方是，球面三角形的内角和大于π。也就是说球面几何其实是一种 非欧几何 。
当年，高斯在主导汉诺威公国的大地测量工作时，他通过测量三座山峰Brocken、Inselsberg、Hohehagen所构成的三角形的内角和，以此验证非欧几何。最终测出这个三角形的内角和为 180°0′14.85″。不过高斯认为这什么也证明不了，因为测量误差可能就远大于 14.85″。三座山峰构成的三角形太小了，只有在更大的三角形中才能看出其内角和与π的显著差距。此时高斯已经认识到了非欧几何的深远意义：非欧几何在逻辑上是相容的，它可以来描述物质空间，和欧氏几何一样地正确，欧氏几何并不是物质空间所必然有的几何。
仿照平面几何中的思路，我们可以把球面上的多边形分割成若干个三角形。如此就能算出球面上多边形的面积。
一个球面 n 边形可以分割为 n－2 个球面三角形，对每个三角形应用上面的公式，然后把这些等式加起来，我们就得到球面上 n 边形的面积公式：
其中 α i 是 n 边形的 n 个内角。
如果我们用外角（外角是内角的补角）来表示这个公式，它可以写得更简洁：
其中 θ i 是 n 边形的 n 个外角， θ i = π－ α i 。
按照这个公式，你只要沿着帝国的边界走一圈，回到原来的位置、原来的方向，那么你转过的角度与2π的差值就代表了帝国领土的大小。
最后再来介绍一下更一般的情形。假如有一个光滑的曲面，在这个曲面上有一个由测地线组成的三角形，那么对这个曲面三角形，有
其中K是曲面的高斯曲率，dA 表示对面积的积分， α 1 、 α 2 、 α 3 是三角形的三个内角。
一个半径为R的球面的高斯曲率等于 1/R玻?谑俏颐强梢钥吹剑?蛎嫒?切蚊婊??绞巧厦嬲飧龉?降奶乩?Ｕ飧龉?绞歉咚乖凇豆赜谇?娴囊话阊芯俊分兄っ鞯摹

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