0.999......到底应不应该等于1？

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1. 实数理论里，是没有0.333....=1/3这个定义的，这个结论是计算/证明出来的。
2. 无限小数是不能直接四则运算的，当然可以转化为分数再运算，但LZ的证明过程是直接运算的。

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1。大侠说的这个没有定义，俺不想过多的去争。http://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal
这里有维基的网址，至少从这里的说法看，0.3333...是被定义为分数1/3的小数形式的。
2。对于四则运算，无论是在证明0.999...是否等于1里，还是在无限循环小数的逆反算分数里都有直接使用。俺不敢苟同大侠的这个观点。
3。附带一问，如果无限循环小数不能直接四则运算，那么为什么无理数可以？比如pi。

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1. 好吧，咱们不争论1/3的定义问题。
2. 我先回答第3问吧，π的计算，比如π+π，答案就是2π，不可能把π展开来再相加。
3. 无限小数怎么和10乘，2个无限小数怎么相加，都是没有定义过的运算。尽管有时候答案是对的，但运算是非法的。事实上，2 个无限小数要加要乘，从哪一位算起呢？进位怎么办？都是问题。
4. 1/9+1/9=2/9，没问题；但0.1111.....+0.1111.....=0.2222......就不行。

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截图来自华师大张奠宙先生的《现代数学与中学数学》P109

Ki奇

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理论与实际是存在差距的

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LZ的论证虽然有问题，但结论本身是正确的。
怎么证明?品丰社友前面都写出来一些了。
截图来自克莱因《高观点下的初等数学》第一卷 P28

ellenye

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呵呵,大侠,你不觉得你引用的这段定义和之前的张先生的讲法矛盾吗?
既然无限小数不能四则运算,那么又怎么冒出一个其差值无限小呢?如果0.1111....+0.11111....不能找到一个具体的数位进行性计算，那为什么1-0.9999....就可以呢？这岂不成了双重标准？
同样的，你也说了，计算Pi就是直接算pi+pi，那么，如果说无限循环小数的定义说成立，0.333.....+0.333...和1/3+1/3有什么区别呢？
总之，个人认为，讨论一个数系，无论是原理还是论证方法，其引用最好出自一人。至少可以肯定张先生的理论同魏先生存在分歧。而魏先生的理论，其实是从另一个角度去阐述柯西序列。即，有理数x和y之间的距离定义为绝对值|x − y|，其中绝对值|z|定义为z和−z的最大值，因此总是非负的。这样实数便被定义为关于这个距离的具有柯西序列性质的有理数序列。也就是说，每一个实数都是一个柯西收敛的数列（x0，x1，x2，…）。这是一个从自然数到有理数的映射，使得对于任何正有理数δ，总存在一个N，使得对于所有的m、n > N，都有|xm − xn| ≤ δ。（两项之间的距离变得比任何正的有理数都要小。）
另外，可以一提的，在数学中，如果一个定理可以被由公理证明，且这个定理存在一个由其推出的充要推论，那么这个定理和推论都可以直接应用。那么1/3=0.33....是否属于这样的一个判定序列内呢？如果属于，那么四则为什么成为无意义的呢？
类似的例子比如说平行线定理及其推论，如果说可以类比的话，作为公理，我们同样认为平行线是两条无线长度时都不会相交的直线，那么同样的，如果一条直线上存在有限距离的两个点，且这两个分别在两条平行线上，那么这条直线与平行线相交。如果存在无限距离的两个点，那么这条直线是平行于平行线呢还是相交呢？呵呵。因为，如果你一定要强调无限小数的四则运算中因为不能找到一个确定的位数来进行计算，那么同样的，这条具有无限距离的两个点的直线，同样无法找到一个确定的距离，或者说无法找到交点的确实位置，那么这种时候是平行还是相交呢？
另外，说句个人理解，张先生的说法实际上是一种悖论。非错非对，因为你从任何两个相反的角度去论证都能得到一个合理的结果。所以，没必要纠结于此。在完备数系之中，无论是四则还是定义，应用即可。

Darling丶who

呵呵，zero大侠，我试着解释下。
1. 无限小数不能四则运算，不代表不能进行不等式运算。0.111......<1，数学上是承认的。同样，魏先生算出来1-0.999...了么？没有，但是他对差值进行了不等式运算。请再读下魏先生的话。
2. 我在23楼有个补充说明，“”但0.1111.....+0.1111.....=0.2222......就不行“，不是说这个等式不成立，而是说这种直接加的运算不行”。
3. 0.333.....+0.333...和1/3+1/3有什么区别呢？0.333.....+0.333...在数量上等于2/3，但这种直接加的运算是非法的。结论正确不代表运算过程正确，这在数学中太常见了。
4. 我也曾经想过，既然0.333.....+0.333...在数量上等于2/3，那可不可以自己来定义下无限小数的运算规则？理论上是可以的，数学不就是如此吗？当然，给出的定义不能与已有的公理体系相矛盾！不过我没这个能力去定义。
5. 平行问题，我的回答是两条线是平行的，也可以说它们相交于无穷远。

花庭雨某年约

截图来自加德纳的《无限过程——数学的分析的背景》P74~75, P143

开着跑车放牧

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感觉在钻牛角

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P大。争论点貌似已经清晰了，只在一个四则运算的存在意义上。呵呵，这么讨论挺有意思的。
我说下我说的思路，首先，不等式的存在没有问题，你可以说1与0.9999...的差值小于0.1,0.01,0.001等等，这些都没问题。但是就如同说无限小数四则运算一样，这种无限小的比较你也无法找到一个最终的“右位”，不是吗？因为同样找不到一个最终的“右位”，那么1和0.999...的差值又该如何定义呢？魏先生的原话提到的是“差值”，而这个值是如何得到的才是关键。如果没有四则这个前提，那么这个差值本身也没有存在的意义不是吗？
所以，我才会提到柯西，因为柯西收敛可以解释这个过程。或者说等比级数收敛也可以解释这样的一个过程。因为一个收敛的函数一定存在一个极限值。
呵呵。

s30999

zero大侠：
1. 不等式不需要具体的差值。比如0.2<0.2.....<0.3, 0.1<0.1....<0.2
     由上面2个不等式可以得到0<0.2....-0.1....<0.2。我不需要具体差值的定义，就能把2个无限小数的差值控制在一个范围了。
2. 实数理论确实有好几个体系，但零侠肯定知道这几个体系都是等价的。分析书上都有证明。所以“讨论一个数系，无论是原理还
    是论证方法，其引用最好出自一人”，我觉得没必要。

-哦

几位大侠其实都是在讨论实数系的构造
记得中科大 史济怀的书里面是用无限小数构造的实数系
而rudin的书里面，使用cauchy sequence 和 cuting 来构造的
总之，实数这个基础还是稳固的，没什么可争论的
论坛里，时不时就会有人拿这个问题出来讨论一下，哈哈

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1.你这么写，本身要承认不等号两侧的可加减性的。你可以说我不用找到一个具体的“右位”去进位，但是却是在应用不等号两侧共加的性质，不是吗？如果这么写是成立的。那么这种性质跟是否应用不等式无关，只跟是否承认加减性有关。那么同样也可以写：
1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3
也就是说，这个关系中，因为承认两侧共加的成立，所以，0.666...恒等于0.333...+0.333...。当然，你仍然可以说，只是等于，而没有进行实际的四则。那么这就是我前面说的，如果存在一个公理或者一个定理，其存在一个充要的推论，那么这个推论就是可以被直接使用的。那么对于上述等式，其实质就是定理得充要推论，又缘何有无意义之说呢？岂不是成了双重标准？
当然，你也可以继续强调说，两个无限循环小数因为不能找到最终的“右位”，所以用有限位的四则运算不符合无限的要求。其根本在于不能进行“右位”的起始。而同样的，在进行1与0.999...的差值比较时，实际上在引入一个“右位”，即，无论你找到多小的一个位数值，（1/10)^a, a属于正整数，都一定存在这个差值b，b<1(1/10)^a，即，b一定为这个无限小值的右位，而同时隐带的一个条件就是，这个无限小值的右位如果可以被找到，就可以依次进行四则。呵呵，没错吧。
那么这里就存在我说的要引用同一个源的理论的问题。
对于通常可证的1=0.999...，其基础是实数的阿基米德性质。也就是不存在非0无穷小，这也是魏先生在用一个精确的描述“差值”的原因，“其差值小于任何一个设定的常数小值”。换句话说，这个定义一定是在基于不存在非0无穷小的基础上，讨论一个可以被设定的有限“右位”的情况。而这个就是同张先生理论冲突的地方。张先生认定了区间套，而不肯定有限位的四则，那么也就是说在这样的一个区间套中，你不能设定一个有限“右位”。所以，二者不可能同时应用的。
同样的，换句话说，你承认不等式及其性质。那么本身１-0.999....<0.1or0.01...这样一个不等式实际上是不满足本身定义的。
首先，不等比式四则形式的基本是比较不等号两侧的实数。那么你可以说1<a，a为一个实数。1-0.999...<a-0.9999...。这是成立的。而，对于1-0.9999...同0.1或者0.001这样的比较，本身则需要证明。不是吗？因为，你并不承认1与0.999..之间可以进行直接的四则。那么，在不等式两边去比较一个实数值同一个算式的大小是没有意义的。这就好似我不能说砖<刀。
总之，大侠说的四则的运算意义，其实本身就是在讨论一个区间套。你定义出一个区间套，那么四则本身就要发生变化。你定义的是一个限位，那么四则本身就是另一个系统。所以，于我来说，我不能说服大侠接受可以四则的理论，而大侠所叙述的理论本身于我来说却相对矛盾。哈哈。至于数系是否等价，至少目前知道的有一些是不等的。比如P进数。因为在p进数中，可以证明....999.99999.....这样的无限小数是等于0的。哈哈。

longon

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zero 大侠，抱歉，你这个帖子我没怎么看懂。
1. P进数，我没听说过，是实数理论之一么？
2. “承认不等号两侧的可加减性”与“找到一个具体的“右位”去进位”怎么就矛盾了？
3. 我不承认1与0.999..之间可以进行直接的四则，不代表我不能对差值的范围进行运算啊。

cccddd

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P大，可能说得有点绕。
1. p进数是有理数的一个扩展数域，但与常见的实数域拓展不同。不过我对此的认识也紧限于知道。呵呵。但据说这个数域在前沿学科内应用很广。
2. 关于差值问题。首先，只有当你能判断相比较的两个实数的大小时，你才能判断其差值。也就是所谓在一个数轴上，你要先能判断出二者的左右关系。其次，当你能判断出左右关系后，你必须通过一个减法处理，才能得到一个“差值”。如果存在两个实数ａ，ｂ。你既不能判断其大小，又不能进行减法，那么你该如何定义和比较ａ-b这个代数式呢？这就是我在说的矛盾。
同样的，对于1-0.99....这个算式，你既不能判断其大小，又不能进行加减法，你如何得到一个其差值小于0.1,0.01这样的结果的呢？你不要说因为他一定比0.1小这种话，因为这种说法在数学推理和证明里行不通的。你可以说，1<1.1。1-0.99..<1.1-0.99..
但却不能得到1-0.99..<1.1-1。对吗？对于这样一个不等式，0.99..和1的大小在你证明前，你是不能应用其大小概念的。
然后说右位问题，这里还要提那句，对于阿基米德性质的完备数系，不存在非0无穷小。也就是说，lim(1/10)^n=0，而不是一个找不到右位的小数。所以，在这个前提下，魏先生的比较说法，其实在说1与0.99...的差值是一个无穷小，即0，而0是一定小于你能设定的任意小的实数的。
这里，我必须承认一点，在存在进位问题的无限小数运算中，这个所谓的右位其实是个麻烦。比如0.77...+0.33...。这种情况符合张先生所说的右位进位问题。但是实际上却不需要去找右位。因为这样的式子其实可以写成0.77...+0.22...+0.11...=1+0.11...=1.1...（先假设可以四则）。即实际上，这种无限小数的运算也在遵循基础的整数运算时的计算规律，比如7+4=7+3+1=10+1=11。为什么要强调这个，因为虽然我们常用的是10进制计数，但实际上存在12进制，8进制，2进制等多种记数法。所以，四则运算的进位本质上都是在分解和结合处一个个的可进位数，然后再逐位写出余数这个过程中进行的。而对于无限小数，其计算实质也是如此。虽然，对于无理数来说，这样的计算变得相当困难。比如pi。而对于这类无理数，实际运算中，多数时候都是按照有限位四则运算的。因为你不能最后只写一个4pi,5pi之类的代数。实际使用中，你是一定要有所取舍的。

chenxinzheng

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zero侠，这个帖子写得很明白，谢谢！
我还没想好怎么回复你，可否让我挂下免战牌？

云动风吹

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zero大侠：
1. 数量比较是不需要具体差值的，也就不存在假定最右一位的说法。比如咱俩来比身高，零侠身高1.8......，我身高1.7.....。咱俩只要站一起，社友们立马就知道谁高了，但是咱俩身高具体差值他们不知道。社友们做了数量比较不等于他们计算了1.8....-1.7.....的差值。计算差值只是比较的一个手段。
2. 证明1-0.9...=0只需要证明│ 1-0.9...│ <任意给定正数就行了，数量比较不一定非要具体差值的。
3. 数学的证明，一步步都是有来历的，没有定义的运算不能算，但下面几个运算是可以的，因为有定义。

0.1....-0.1.....=0
    1x0.1....=0.1.....
    0.1.....+0=0.1.....
4. “如果存在一个公理或者一个定理，其存在一个充要的推论，那么这个推论就是可以被直接使用的。那么对于上述等式，其实质就是定理得充要推论，又缘何有无意义之说呢？”
   你这句话，我承认“如果存在一个公理或者一个定理，其存在一个充要的推论，那么这个推论就是可以被直接使用的。”
   可是2/3=1/3+1/3=0.333...+0.333...说明了什么？只能说明2个量相等，能说明无限小数直接加是可以的？
    比如：1+1/4+1/8+1/16+.....=(1+1/4)+(1/8+1/16)+.....，你能就此得出无穷项加法里结合律是可以用的么？

你才我是谁

马克思教导我们 ：具体情况具体分析，我们要以辩证的目光来看问题
其实0.9999…… 与1二者是相互渗透相互转化相互影响。
在一定条件下，0.99999……可以看作1 ，在一定条件下，1又可以看作0.9999……
综上 ， 0.999999……就是1  得证

EastBall

P大。我感觉讨论越来越有意思了。
1。数量比较比一定需要差值，因为只要有参照物即可。但是数值比较不同。可以借用你这个例子。（我没有那么高啊）。A身高1米8，B身高1米7，这样两个人站一起就知道差别。但是如果我们讨论二者身高差量同另外一个参照物，比如一颗手雷的比较时，直接的做法是把他们放一起，再比较。而当你不能把两个比较对象直观的放在一起时呢？或者对比时看参照物的具体位置变动呢？这样就没有办法比较了。或者说，A身高1米71，B身高1米7。这种小差距不能辨识的情况呢？所以我才强调，不要说1-0.99...的差值一定比0.1小这样的话，因为这种直观上的比较不能作为数学论证的依据。同样的例子就是歌德巴赫猜想。比如1+2=3。如果就是直观的讲的话，那就不需要证明了，不是吗？
所以，当讨论数值比较，特别是差值比较时，你至少是要确定这个值的。
2。关于这句“证明1-0.9...=0只需要证明│ 1-0.9...│ <任意给定正数就行了”。我感觉我们像是进入了一个鸡和蛋的哲学问题中。究竟是先有证明1-0.9...=0还是先有|1-0.9....|<任意给定正数。哈哈。这么说吧，
我们先讨论下|1-0.9....|<任意给定正数这句话。比如我给定一个正数0.1，你该如何证明1-0.9....小于0.1呢？你可以说，1-0.9=0.1。1-0.99=0.01<0.1。所以，1-0.99...<0.1。但是问题就出来了，你计算前两个式子的时候，是有限位计算，按找张先生的理论，是有意义的。而问题就出在第三步上。0.99...=0.99吗？0.99...>0.99吗？0.99...<0.99吗？所有的这三个比较式你都不能直接使用，你都必须先要证明一个确定的关系发生在0.99..同0.99之间。而如何确定，这就是需要四则运算的地方。比如0.99...同0.99在小数点后的前两位相同，但0.99..右侧还有数位。即0.99...=0.99+0.009...，而0.009..>0，所以0.99..<0.99。而这之中，实际上你已经在用一次四则运算了。所以，说这么多，其实就是一句话，如果抛弃四则运算本身，|1-0.9....|<任意给定正数 这个问题不可证。既然不可证，那么至少你不能用这个式子说明1=0.99...
接着就是1=0.99..的证明，其实你可以去看各种的证明的方法，有级数计算的，有错位相减的。但是最终都是在一个进行四则运算的基础上。比如说级数计算的。0.99...=9*(1/10)+9*(1/10)^2....9*(1/10)^n。然后通过等比数列和法求的
0.99..=1-lim(1/10)^n=1。而这其中，其实也是在四则运算。如果严格按照张先生的理论，那么同样，9*（1/10）^n是找不到的右位，那么最后的lim(1/10)^n原则上也不应该出现。说白了，就是不可证。
总之，通过假设推论，如果因为找不到右位而否定四运算的可行性，那么现有的多数证明本身都是不成立的。1-0.99...同“任意给定正数”的比较就成了鸡蛋问题。哈哈。
3。我不太明白大侠写这三个式子同证明1-0.99..的差值和任意正数的关系有什么联系。
4。我写的那个式子，希望大侠看全。
1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3
其关键是第二个等号的右侧。因为那一部分的计算是脱离小数但却符合小数各数位四则的部分。也就是说，讲0.33..级数话，然后各级数的分数表达做加法。换句话说，如果你承认这种级数分数的运算方法是对的，这跟直接去计算无限循环小数的各数位是一致的。因为，0.33...+0.33...四则运算的时候实际上是0.3+0.3+0.03+0.03+0.003+0.003+....。说白了，无论你是否能找到右位，级数计算和直接小数计算都是在这样进行的。唯一让人疑惑的就是进位，但我之前阐述过了，其实进位并不是问题。