西学的代数作为思维工具的威力

fairy13 · 发表于 2014-6-3 14:22:41

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（这个一个很久以前写的帖子。）
想象一个密闭容器内储存着很多空气粒子，这粒子数量是如此的多，以至于你无法数的过来——它几乎是无穷多的。现在让你用一种方法，一下子描述这所有粒子的属性，包括每个粒子的运动速度、它的温度，它的质量等等。想象一下，这可能吗？一下子将这兆亿计的粒子的状态都描述出来，这可能吗？我们知道，即使是用思维想象跟踪一个粒子的运动就已经很吃力了，要在脑中快速计算它的速度，和其它粒子碰撞后的运动方向，等等等等，更何况那数以兆亿计的粒子——也就是说，那几乎是绝对不可能的事。
但是，如果你掌握了代数这个思维工具，上面的事情却是可以做到的。
我们假设这个容器是四方的，以它的左下角为0点，建立起直角三维坐标系，那么，这个容器内的每一个点，都将具有一个坐标：

我们将不跟踪单个粒子，而只着眼于固定的坐标点。那么，在每一个固定的坐标点处，都必将对应着一个温度数值，也就是：

很多人以为这不过是个表格，是个对照表，其实它的真正名字应该叫“函数”，T是x,y,z三个参数的函数，用式子表示起来就是：

这是它的简略形式。如果是详细形式，很可能就类似于这种：

很多人都觉得这个式子很关键，觉得只有推导出了这种式子，才算完成了任务。但很多时候，这种式子是很难推导出来的。其实事实是，这个式子并不重要。我们只需要将上面那个表格，在坐标系里表示出来，也是可以的。它差不多相当于这样：

这是个三维坐标系，你捏住任何一个(x,y,z)坐标值，比如(1,1,1)这个点，然后你将这个图象放大，你就会发现在那个点上，有着一个数，也就是该点的温度：

无论你捏着什么坐标，在那个坐标点上，总能找到一个唯一的温度值。这就是函数。
再来看前面那个函数式：
它其实处于次要位置，但它却有运算的功能。有了这个式子，你就可以利用起所有的代数方法，来研究这个密闭容器内的气体性质。比如什么温度梯度啊，全部点的不同密度啊，全部点的不同速度啊，等等等等，微积分也从而大派用场。
你甚至可以描述炸弹爆炸后的温度场，你可以用球面坐标，用T表示温度，用r,θ,Φ来表示球面坐标点，写下这个式子：

然后做很多实验，发现其中的物理规律，再用代数式描述出来，中间你会得到微分方程。然后通过解微分方程，最终你可能会得到T的完整表达式，就跟这种差不多：
（弄错了，里面的参数应该是r，θ，Φ，不过意思是一样的……）
于是你就知道了一个以炸弹爆炸点为球心的，一个球形空间内的任意一点温度的描述式。你只需将该点的坐标值代入上面这个式子就行了。
你甚至可以用这么一个式子，用思维一下子先从总体上把握住整个地球体内的每个点的温度值，然后再慢慢研究。它的应用是无限的。
很多人很看轻思维工具的作用，认为你想的再多，你理论再好……是吧。但是，你不妨想一想，想一个例子，比如原子弹；还有相对论，光线在经过大星球时会偏转，这简直纯粹是理性思维的成果。如果这两个例子有点远，你也不妨设想一个简单的机械结构，比如三层圆筒过盈装配在一起，它们的公差，这个论坛里面，不知道有几人能够标出来。

gjn · 发表于 2014-6-3 14:23:09

数值分析
这是搞学术研究的基本方法。。。

lori_yu · 发表于 2014-6-3 14:23:12

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后生可畏！

不妨看看此图，可以看作是油缸的中间一段，由3层缸筒嵌套，由于长度对此题影响不大，故略去。
假设都为同种材料，屈服点为σs=400MPa，。请给出三个圆管外径公差，使本油缸承受内压达到最大。请注意，这个最大，指的是使缸筒任何一处刚刚达到σs即可，也就是安全系数s=1。等求出这个最大内压后，再取一个安全系数，才得出安全使用的压力值。
题目是一半实际一半理论，如果有不合理或自相矛盾的地方，及其它任何疑问，请提出。
例如，问：为什么要这样设计？
答：油缸不一定非要这么设计，这么设计的目地，一个是这种方法确实有增大承受內压的作用，再个是为了让大家一起来研究。
问：实际有没有这种例子？
答：有，听说有两层套筒的油缸，也有两层套筒的炮筒。我们设为3层，是为了稍微增加点难度。其实还可以设为4层到10层，如果理论水平足够的话。

风起时 · 发表于 2014-6-3 14:23:49

这就是传说的数学建模吧。

ugug1 · 发表于 2014-6-3 14:24:11

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我是新手，提问一下
内径标了H6为什么还要标+0.022/0？？
H6不是已经表示出了公差带的位置（H）和宽度（6，然后按内径尺寸一查表就是到宽度多少了）了么？
如果要作过盈，就照着书上的推荐选型找个就好了, m5什么的？

shenying · 发表于 2014-6-3 14:24:53

貌似高深的理论，用趣味数学表达出来-----------科普！

AnyDave · 发表于 2014-6-3 14:25:34

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天天跟油缸打交道，还真是没有接触到类似的问题。学习一下了，观望中

one2015 · 发表于 2014-6-3 14:25:44

没有手算，我就简单说一下我的思路吧。

因为是均匀的内压，故这个物理模型可以这样建立：
任一径向截面处法应力δF,δF由内压F/截面积δS求得，内压用微积分很容易算出，书上一大堆例题，截面积为钢桶剖开后截面面积（如图）
这样利用胡可定律，可以很容易求得线应变δl，这个应变就可以用作为钢桶直径的实际变化量了，

497494232 · 发表于 2014-6-3 14:26:45

最爱学术贴了

独孤一方 · 发表于 2014-6-3 14:28:08

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一个学科成熟的标志就是可以量化拿电气专业为例子麦克斯韦方程组就是一组偏微分方程喜欢看这样的帖子

YJX腾飞 · 发表于 2014-6-3 14:28:30

这个可以下载吗？

舞动の生命 · 发表于 2014-6-3 14:30:47

shit，数学不过关

shzul · 发表于 2014-6-3 14:31:06

说说思路吧。今天要出门，没时间写公式了。
基本思路就是间隙配合，通过控制间隙量使得每层管体均处于屈服极限状态下，再将多余压力外传，形成类分层均载体系。
具体流程回来写好了。

宝贝！蛋蛋 · 发表于 2014-6-3 14:31:57

虽然看不太懂，总觉着还是挺有意思的，比胡侃的贴好多了

色的萨菲 · 发表于 2014-6-3 14:32:13

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敬佩敬佩，吾等楷模！

1135211179 · 发表于 2014-6-3 14:35:59

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还是数学最基本、最能反映客观现实……

mc0813 · 发表于 2014-6-3 14:37:00

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看完表示鸭梨很大

JAKIN · 发表于 2014-6-3 14:37:51

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这样的知识应该在哪里开始学起，很喜欢看机械结构的量化

cx19961211 · 发表于 2014-6-3 14:38:01

都是大神啊不过觉得好的机械设计就应该有完整的数学理论支持而不仅仅只是经验

281030916 · 发表于 2014-6-3 14:38:20

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